K. RUBIN, Euler Systems. Princeton: Princeton University Press, 2000. 227+xii p., prijs $ 24,95,– (Annals of Mathematics Studies; 147). ISBN 0-691-05076-7 (paperback).

De theorie van Eulersystemen vindt zijn oorsprong in werk van Thaine en van Kolyvagin. Gedoeld wordt op een techniek van Thaine om klassengroepen van reële abelse uitbreidingen van Q te begrenzen en op werk van Kolyvagin dat resulteert in het begrenzen van Selmergroepen van elliptische krommen. De ideën achter deze bewijzen hebben geleid tot de introductie van abstracte Eulersystemen voor p-adische representaties zoals deze in dit boek worden behandeld. Om de hoofdlijnen te schetsen is het nodig iets meer in detail te treden.

In deze review is K steeds een getallenlichaam, G_{K} de absolute Galoisgroep van K en T een p-adische representatie van G_{K} (d. w. z. een vrij Z_{p}-moduul met continue G_{K}-actie). Een Eulersysteem voor T is een verzameling cohomologieklassen c_{F} ∈ H^{1}(G_{F} , T), geïndexeerd door een collectie abelse uitbreidingen F van K, die aan bepaalde compatibiliteiteisen voldoet. Zij W = T ⊗ (Q_{p}/Z_{p}) en definieer, voor een eindige verzameling Σ van plaatsen van K, de Selmergroep S_{Σ}(K, W) ⊂ H^{1}(G_{F} , W) als de verzameling klassen die locaal triviaal zijn bij de plaatsen in Σ en die bij de overige plaatsen een regulariteitsconditie vervullen. De hoofdstelling van dit boek geeft een afschatting van de ordes van bepaalde Selmergroepen (en dus tegelijk een eindigheidsstelling) . Dit laatste zowel over K als over bepaalde Z_{p}^{d}-uitbreidingen K_{∞} van K.

De definitie van een Eulersysteem en de bovenstaande stellingen worden behandeld in het tweede hoofdstuk, het eerste is geweid aan de nodige voorkennis betreffende de cohomologie van p-adische Galoisrepresentaties. In het derde hoofdstuk volgen enige belangrijke toepassingen van de stellingen uit hoofdstuk 2. Daarbij gaat het onder andere om de grenzen van Mazur–Wiles voor de ordes van de klassengroepen van cyclische uitbreidingen van Q en om werk van Kato met betrekking tot Shafarevich–Tate groepen van elliptische krommen.

In de hoofdstukken 4–7 komen de bewijzen van de resultaten uit hoofdstuk 2 aan de orde. In hoofdstuk 8 vinden we een overzicht van werk (en vermoedens) van Perrin-Riou over de relatie tussen Eulersystemen en p-adische L-functies. In het laatste hoofdstuk worden enige varianten op de theorie belicht. Tenslotte volgen 4 appendices met benodigde voorkennis die in de hoofdtekst niet tuishoorde.

Samenvattend vind ik dat dit boek een zeer aangename en complete behandeling geeft van de theorie van Eulersystemen. Als zodanig is het warm aan te bevelen aan elke onderzoeker, vanaf het niveau van promovendus, die zich in dit onderwerp wil verdiepen. Rutger Noot