제 1 장

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행 렬 (Matrix)

자연과학이나 사회과학의 다양한 문제들은 쉽게 연립 일차방정식의 문제로 바꾸어 놓을 수 있기 때문에 연립방 정식을 푸는 일은 중요하다. 연립방정식을 풀 때,

행렬을 이용하면 매우 편리하다.

이 장에서는 행렬을 정의하고 행렬의 연산에 대하여 알아본다. 또 행렬을 이용하여 연립방정식의 해를 구하는 방법을 소개하고, 행렬과 연립방정식의 해 사이의 관계를 살펴본다.

1.1 연립일차방정식과 행렬

1.2 행렬연산의 성질

1.3 Gauss 소거법과 Gauss-Jordan 소거법

1.4 역행렬

1.5 연립일차방정식의 해와 행렬

* 1.6 행렬을 이용한 암호이론

1.1 연립일차방정식과 행렬

미지수 에 관한 일차방정식(linear equation)은 와 계수 이 실수일 때, 다음과 같은 꼴로 나타내어지는 방정식이다.

예를 들어, 방정식

은 정리하면

와 같은 꼴로 나타낼 수 있으므로 모두 일차방정식이다. 또, 방정식

는 모두 일차방정식이 아니다.

일반적으로, 미지수 에 관한 유한개의 일차방정식의 모임

을 연립일차방정식(system of linear equations)이라고 한다.

연립일차방정식의 미지수 에 어떤 수 을 각각 대입하였을 때, 각 방정식이 모두 성립하면 ()을 이 연립일차방정식의 해(solution)라고 한다. 예를 들어, 연립일차방정식

(1)

의 에 각각 을 대입하면 두 방정식이 모두 성립하므로 은 연립일차방정식 (1)의 해이다.

연립일차방정식의 해 전체의 집합을 연립일차방정식의 해집합(solution set)이라 하 며, 동일한 해집합을 가지는 두 연립일차방정식을 동치(equivalent)라고 한다.

이제 연립일차방정식의 해집합에 대하여 생각하여 보자.

연립일차방정식

에서 두 방정식의 그래프를 각각 라 하면 가 이 연립일차방정식의 해가 될 필요충분조건은 점 가 두 직선 과 모두의 위에 있는 것이다. 아래

그림 1.1에서 알 수 있듯이 위 연립일차방정식은 유일한 해 (2, 1)을 갖는다.

1

그림 1.1

물론, 두 직선이 만나지 않거나 일치할 수도 있다. 다음 그림 1.2는 아래 연립일차방 정식에 대응하는 그래프로서 각각 연립일차방정식이 해를 갖지 않는 경우와 무수히 많은 해를 갖는 경우를 보여주고 있다.

(a) (b)

(a) (b)

그림 1.2

일반적으로, 연립일차방정식에 대하여 다음 중 하나가 성립한다.

(ⅰ) 해를 갖지 않는다.

(ⅱ) 유일한 해를 갖는다.

(ⅲ) 무수히 많은 해를 갖는다.

연립일차방정식의 해법인 소거법에서 변수의 역할은 위치를 나타내는 것 외에는 없 다. 따라서, 변수를 반복해서 쓸 필요가 없고, 계수만으로 소거법을 시행하여도 해를 얻을 수 있는데 이러한 방법을 Gauss소거법 (1.3절 참조) 이라고 한다. 이를 이용하려 면 다음 절에서 살펴보게될 행렬이 필요하다.

실수(또는 복소수)를 다음과 같이 직사각형 모양으로 배열한 것을 행렬(matrix)이라 하며, 그 각각의 수를 행렬의 성분(entry)이라고 한다.

(2)

행렬 에서

을 의 행( th row of )이라 하고,

을 의 열(th column of )이라고 한다. 또, 개의 행과 개의 열을 갖는 행 렬 를 크기(size)가 인 행렬이라 하며, 특히 이면 차의 정사각행렬 (square matrix)이라고 한다.

행렬 의 행, 열의 성분 를 의 성분이라 하며, 차의 정사각행렬 의 성분 을 주대각선성분(main diagonal entries)이라고 한다. 행렬 (2)은 성분을 써서 다음과 같이 간단히 나타내기도 한다.

또는

【예제 1】 다음 행렬

에서 는 2×3 행렬이고, 이다. 또, 는 2×2 행렬이고, 이며 는 각각 행렬이다. 의 주대각 선성분은 각각 이며, 와 같은 1×1 행렬은 흔히 로 쓴다. ¶

정사각행렬 의 주대각선성분 이외의 모든 성분이 0일 때, 를 대각행렬(diagonal matrix)이라 한다. 특히, 주대각선성분이 모두 같은 대각행렬을 스칼라행렬(scalar

matrix)이라고 하며, 주대각선성분이 인 대각행렬 를

으로 나타내기도 한다. 즉,

【예제 2】 다음은 모두 대각행렬이다. 특히, 와 는 스칼라행렬이다.

또, 와 같이 나타낼 수도 있다.¶

정 의 두 행렬 , 가 모든 에 대하여 를 만족하 면 서로 같다(equal)고 하고 로 나타낸다.

【예제 3】 두 행렬

가 이기 위한 필요충분조건은 다음과 같다.

¶

정 의 두 행렬 ,와 실수 에 대하여 와 의 합(sum) 와 의 스칼라배(scalar multiple) 를 다음과 같이 정의한다.

,

【예제 4】

일 때,

이다. 그러나 와 , 와 는 크기가 다르므로 더할 수 없다. 또,

이다. 일반적으로 는 간단히 로 쓴다. ¶

정 의 두 행렬 , 에 대하여 와 의 곱(product) 를 다음과 같이 정의한다.

여기서,

위의 정의에서 의 성분은 의 행에 있는 각 성분에 의 열에 있는 성 분을 차례로 곱하여 모두 더한 것임을 의미한다. 따라서, 와 의 곱은 의 열의 개 수와 의 행의 개수가 같을 때에만 정의된다.

【예제 5】 행렬

에 대하여

이제, 개의 미지수를 갖는 개의 일차방정식으로 이루어진 연립일차방정식

(3)

을 생각하자.

이라 하면 연립일차방정식 (3)는 행렬의 곱을 이용하여 다음과 같이 간단히 쓸 수 있다.

이때, 행렬 를 연립일차방정식 (3)의 계수행렬(coefficient matrix)이라 하며, 에를 붙여서 만든 행렬

을 연립일차방정식 (3)의 첨가행렬(augmented matrix)이라고 한다.

【예제 6】 다음 연립일차방정식을 행렬의 곱을 이용하여 나타내라. 또 연립일차방정식의 첨가행 렬을 구하라.

풀 이

이라 할 때, 이다. 그리고 첨가행렬은

= ¶

연습문제 1.1

[1-4] 행렬

에 대하여 다음 물음에 답하라.

1. 를 말하라.

2. 을 말하라.

3. 를 말하라.

4. 의 주대각선성분을 말하라.

5. 두 행렬

가 이기 위한 를 구하여라.

6. 두 행렬

가 이기 위한 를 구하라.

[7-8] 행렬

에 대하여, 다음 중 계산가능한 것만을 계산하라.

7. (1) (2) (3) (4)

8. (1) (2) (3) (4)

[9-10] 행렬

에 대하여 다음 물음에 답하여라.

9. 일 때, 를 구하여라.

10. 일 때, 를 구하여라.

[11-12] 다음 연립일차방정식에 대하여 다음 물음에 답하여라.

(1) 계수행렬을 구하여라.

(2) 연립 일차방정식을 행렬의 곱을 이용하여 나타내어라.

(3) 첨가행렬을 구하여라.

11. 12.

[13-14] 첨가행렬이 다음과 같은 연립일차방정식을 구하라 (단, 미지수는 으로 놓아라.).

13. 14.

1.2 행렬연산의 성질

이 절에서는 앞에서 정의된 행렬연산의 성질에 대하여 알아본다. 행렬연산의 성질은 우리가 이미 알고 있는 실수의 연산성질과 유사한 점이 많으나 몇 가지 예외가 있다. 가장 중요한 예외는 곱에 관한 것이다. 실수 는 항상 성립하지 만, 행렬에 대하여 가 일반적으로는 성립하지 않는다. 이 등식이 성립 될 수 없는 이유에는 또는 가 정의되지 않는 경우와 가 모두 정의 되더라도

인 경우가 있는데, 다음 예제를 통하여 이를 확인해 보도록 하자.

【예제 1】 행렬 가 각각 다음과 같다고 하자.

이 때, 는 정의되지만 는 정의되지 않으며, 는 행렬이지만는 행렬이므로 이다. 또, 나 는 모두 행렬이지만 다음에서 알 수 있듯이 이다.

¶

정리 1.1 행렬 는 각 연산이 정의될 수 있는 적당한 크기의 행렬이고, 가 스칼 라일 때, 다음이 성립한다.

(1) (덧셈의 교환법칙)

(2) (덧셈의 결합법칙)

(3) (곱셈의 결합법칙)

(4) (분배법칙)

(5) (분배법칙)

(6)

(7)

(8)

(9)

증 명 이 등식들을 증명하려면, 좌변과 우변의 행렬이 크기가 같고, 각각에 대응하는 성분들 이 서로 같음을 밝히면 된다. 여기서는 등식 (4)와 (6)의 증명만 하고, 나머지는 연습문제로 남긴다.

(4) , 이라 하면

(6) 이라 하면

【예제 2】 다음 행렬에 대하여 곱에 관한 결합법칙을 확인하라.

풀 이

이므로

또,

이므로

¶

성분이 모두 0인 행렬, 예를 들어

등을 영행렬(zero matrix)이라 하고, 으로 나타낸다.

임의의 행렬 에 대하여 이 와 크기가 같은 영행렬이면 가 성립한다. 즉, 영행렬 은 실수의 덧셈에서의 과 같은 역활을 하는 행렬이라 할수 있다. 그러나 실수의 연산에서 성립하는 다음 두 가지 성질은 행렬연산에서 일반적으로 성립하지는 않는다.

(i)

(ii)

【예제 3】 행렬

에서

이고 이지만 이다. 또한, 이지만 이다. ¶

정리 1.2 임의의 행렬 와 영행렬 에 대하여 다음이 성립한다.

(1)

(2)

(3)

(4)

주대각선성분이 모두 1인 차의 스칼라행렬을 차의 단위행렬(identity matrix)이 라 하고 으로 나타낸다. 즉,

가 행렬일 때, 단위행렬 에 대하여 다음이 성립함을 쉽게 알 수 있다.

【예제 4】 행렬

일 때,

또한,

¶

정 의 가 차의 정사각행렬일 때, 의 거듭제곱을 다음과 같이 정의 한다.

개

거듭제곱의 정의로부터 다음 정리를 얻는다.

정리 1.3 가 정사각행렬이고 가 음이 아닌 정수 일 때, 다음이 성립한다.

정 의 행렬 에 대하여 의 전치행렬(transpose of )을 로 나타내 고 다음과 같이 정의한다.

,

위의 정의로부터, 행렬 의 전치행렬 는 의 행과 열을 바꾸어 얻어진 행렬 임을 알 수 있다.

【예제 5】 다음 행렬의 전치행렬을 각각 구하라.

풀 이

정리 1.4 두 행렬 와 임의의 스칼라 에 대하여 다음이 성립한다.

(1)

(2)

(3)

(4)

증 명 여기서는 (3)만 증명하고 나머지는 연습문제로 남긴다.

이라 하고 의 성분을 라고 하자. 그러면

그런데

는 의 성분이므로 이다. □

【예제 6】 행렬

에 대하여, 위 정리 1.4의 (3)이 성립함을 보여라.

풀 이

이므로

또한,

¶

정 의 정사각행렬 가 를 만족하면 를 대칭행렬(symmetric matrix)이라 하고, 를 만족하면 반대칭행렬(skew symmetric matrix)이라고 한다.

위 정의로부터 정사각행렬 가 대칭행렬이면 모든 에 대하여

임을 알 수 있다. 또한,가 반대칭행렬이면 모든 에 대하여

이고, 따라서 주대각선성분은 모두 영임을 알 수 있다.

【예제 7】다음 행렬 중에서 ,는 대칭행렬이고, 는 반대칭행렬이다.

¶

【예제 8】가 임의의 정사각행렬일 때, 다음을 보여라.

(1) 는 대칭행렬이다.

(2) 는 반대칭행렬이다.

풀 이 (1) 이므로 는 대칭행렬이 다.

(2) 이므로 는 반대칭 행렬이다. ¶

연습문제 1.2

[1-4] 행렬

이고 , 일 때, 다음을 확인하라.

1. 2.

3. 4.

[5-8] 행렬

이고 ,일 때, 다음을 확인하라.

5. 6.

7. 8.

[9-16] 행렬

이고 일 때, 다음을 확인하라.

9. 10.

11. 12.

13. 14.

15. 16.

17. 행렬 가 2차의 정사각행렬이고 , 일 때 이 성립하는 예를 하나만 찾아라.

18. 행렬

일 때, 이지만 임을 확인하라.

[19-20] 행렬 에 대하여 다음을 계산하라.

19. 20.

21. 정리 1.1를 증명하라.

22. 정리 1.2를 증명하라.

23. 정리 1.3를 증명하라.

24. 정리 1.4를 증명하라.

25. 가 행렬이고 가 스칼라일 때 , 이면 또는 임을 증명하라.

26. 임의의 행렬 에 대하여 가 성립하는 행렬 를 모두 찾아라.

[27-28] 차의 정사각행렬 에 대하여 다음을 증명하라.

27. 는 대칭행렬이다.

28. 는 대칭행렬과 반대칭행렬의 합으로 나타낼 수 있다.

29.가 정사각행렬일 때 의 주대각선원소를 모두 더한 것을 의 대각합(trace)이라 하고 로 나타낸다. 가 차의 정사각행렬일 때, 다음이 성립함을 보여라.

(1)

(2)

(3)

(4)

(참고: http://www.math.unl.edu/~msapir/M314HNotes/prtrace.html/)

30. 대각합을 이용하여 다음을 만족하는 차의 정사각행렬 는 존재하지 않음을 증명하라.

(OLD 문제 : 답안 교정시 참조)

1. 행렬

이고 , 일 때, 다음을 확인하라.

(1) (2)

(3) (4)

2. 행렬

이고 ,일 때, 다음을 확인하라.

(1) (2)

(3) (4)

[3-4] 행렬

이고 일 때, 다음을 확인하라.

3. (1) (2)

(3) (4)

4. (1) (2)

(3) (4)

5. 행렬 가 2차의 정사각행렬이고 , 일 때 이 성립하는 예를 하나만 찾아라.

6. 행렬

일 때, 이지만 임을 확인하라.

[7-8] 행렬 에 대하여 다음을 계산하라.

7. 8.

9. 정리 1.1를 증명하라.

10. 정리 1.2를 증명하라.

11. 정리 1.3를 증명하라.

12. 정리 1.4를 증명하라.

13. 가 행렬이고 가 스칼라일 때 , 이면 또는 임을 증명하라.

14. 임의의 행렬 에 대하여 가 성립하는 행렬 를 모두 찾아라.

[15-16] 차의 정사각행렬 에 대하여 다음을 증명하라.

15. 는 대칭행렬이다.

16. 는 대칭행렬과 반대칭행렬의 합으로 나타낼 수 있다.

17.가 정사각행렬일 때 의 주대각선원소를 모두 더한 것을 의 대각합(trace)이라 하고 로 나타낸다. 가 차의 정사각행렬일 때, 다음이 성립함을 보여라.

(1)

(2)

(3)

(4)

(참고: http://www.math.unl.edu/~msapir/M314HNotes/prtrace.html/)

18. 대각합을 이용하여 다음을 만족하는 차의 정사각행렬 는 존재하지 않음을 증명하라.

1.3 Gauss소거법과 Gauss-Jordan 소거법

이 절에서는 연립일차방정식을 풀 때 자주 쓰던 소거법을 체계화하여 유용한 해법을 얻도록 한다. 이 방법은 주어진 연립일차방정식의 첨가행렬로부터 시작하여 어떤 특별한 형태의 행렬을 만들어 내는 것이다. 이 새로운 행렬은 주어진 연립일차방정식과 동치인 연립일차 방정식을 나타낸다.

다음 예제는 연립방정식을 푸는데 행렬을 어떻게 이용할 수 있는가를 암시한다.

【예제 1】 아래의 왼쪽은 연립방정식을 푸는 과정이고, 오른쪽은 이에 따른 이 연립방정식의 첨 가행렬의 변화를 나타낸 것이다.

첫째 방정식을 -2배하여

둘째 방정식에 더한다.

첫째 방정식을 -3배하여

세째 방정식에서 더한다.

둘째 방정식에 1/2을 곱하면

둘째 방정식을 -3배하여

세째 방정식에 더하면

세째 방정식에 -2를 곱하면

따라서

즉, 구하는 연립방정식의 해는

¶

정 의 행렬 가 다음 성질을 만족할 때, 행 사다리꼴(row echelon form)이라고 한다.

(i) 성분이 모두 0인 행이 존재하면 그 행은 행렬의 맨 아래에 위치한다.

(ii) 각 행에서 처음으로 나타나는 0이 아닌 성분은 1이다. 이때, 이 1을 그 행의 선행 성분(leading entry)이라고 한다.

(iii) 행과 행 모두에 선행성분이 존재하면 ()행의 선행성분은 행의 선행 성분보다 오른쪽에 위치한다.

또, 행렬 가 행사다리꼴이고 다음 성질을 만족하면 를 기약 행 사다리꼴 (reduced row echelon form)이라고 한다.

(iv) 어떤 행의 선행성분을 포함하는 열의 다른 성분은 모두 0이다.

앞으로 행 사다리꼴은 간단히 REF로, 기약 행 사다리꼴은 RREF로 나타내기로 한다.

【예제 2】 다음 행렬은 모두 REF 이다.

, , , ¶

【예제 3】 행렬 는 각각 위 정의의 성질 (i), (ii), (iii)을 만족하지 않으므로 REF가 아 니다.

【예제 4】 다음 행렬은 모두 RREF이다.

¶

이제, 주어진 행렬을 기약 행 사다리꼴로 변형하는 방법에 대하여 알아보자.

정 의 행렬 에 관한 다음 연산을 기본행연산(elementary row operation)이라고 한 다.

E1 : 의 두 행 행과 행을 서로 바꾼다.

E2 : 의 행에 이 아닌 상수 를 곱한다.

E3 : 의 행을 배하여 행에 더한다.

앞으로 기본행연산을 다음과 같이 기호로 나타내기로 한다. ( [예제 1] 참조 )

E1 :

E2 :

E3 :

정 의 행렬 에 기본행연산을 시행하여 얻어지는 행렬을 라 하면 와 는 행동치

(row equivalent)라고 한다.

【예제 5】 다음 행렬은 모두 행동치이다.

¶

다음 행렬 를 기본행연산을 시행하여 REF와 RREF로 변형시켜 보자.

단계 1.

성분이 모두는 0이 아닌 가장 좌측열을 찾는다.

성분이 모두는 0이 아닌 가장 좌측열 (이 경우는 첫 번째 열이다)

단계 2.

단계 1에서 찾은 열의 가장 위에 있 는 성분이 0일 때에는 그 열의 위에 서 부터 처음으로 0이 아닌 성분을 포함하는 행과 1행을 교환한다. (가능하면 1, -1 또는 2 등의 성분을 취한다)

의 1행과 2행을 교환하였다 (이 경우는 1열의 2행성분이 대상이 된다)

단계 3.

의 1행의 선행성분을 1로 만들기 위하여 의 1행을 첫째 성분으로 나눈다

의 1행을 2로 나누었다.

단계 4.

의 1행의 선행성분 아래에 있는 모든 성분을 0으로 만든다 (행연산).

의 1행을 -3배하여 3행에 더했다.

단계 5.

의 1행을 제외한 나머지를 라 하고 단계 1에서 단계 4를 반복한다.

의 1행과 2행을 교환했다.

성분이 모두는 0이 아닌 가장 좌측 열

의 1행을 -1로 나누었다. 의 1행의 -2배를 2행에 더했다.

단계 6.

의 1행을 제외한 나머지를 라 하고 단계 1에서 단계 3를 반복한다.

모두는 0이 아닌 가장 좌측열 의 1행을 -3으로 나누었다.

따라서, 다음과 같은 의 REF을 얻는다.

의 REF를 다음과 같이 변형시키면 RREF를 얻는다.

【예제 6】 다음 행렬 의 REF와 RREF를 구하라.

풀 이

¶

일반적으로 다음 정리가 성립한다.

정리 1.5 첨가행렬이 행동치인 두 연립일차방정식은 동치이다.

위 정리에 의하여 연립일차방정식의 첨가행렬을 REF로 변형시켜 그 해를 구할 수 있다. 이러한 방법을 Gauss 소거법이라고 한다.

【예제 7】 다음 연립일차방정식을 Gauss 소거법으로 풀어라.

풀 이 이 연립방정식의 첨가행렬은

이고 다음과 같이 기본행연산을 시행하여 REF를 구하면

이 행렬을 첨가행렬로 갖는 연립일차방정식은

이므로

따라서, 구하는 해는

¶

한편, 정리 1.5에 의하여 연립일차방정식의 첨가행렬을 RREF로 변형시켜 해를 구할 수도 있다. 이러한 방법을 Gauss-Jordan 소거법이라고 한다.

【예제 8】 다음 연립방정식을 Gauss-Jordan 소거법으로 풀어라.

풀 이

이 행렬을 첨가행렬로 갖는 연립일차방정식은

이므로 ( 는 임의의 실수 )라 놓으면 구하는 해는

¶

연 습 문 제 1.3

[1-10] 다음 행렬 중 REF와 RREF인 것을 찾고, RREF가 아닌 것은 RREF로 변형시켜라.

1. 2. 3. 4.

5. 6. 7.

8. 9. 10.

[11-12] 다음 행렬과 행동치인 행렬을 3개만 찾아라.

11. 12.

[13-18] 다음 연립방정식을 Gauss 소거법으로 풀어라.

13. 14.

15. 16.

17. 18.

[19-20] 다음 연립방정식을 Gauss-Jordan 소거법으로 풀어라.

19. 20.

21. 아래 연립방정식에 대하여 다음을 구하라.

(1) 해를 갖지 않기 위한 의 조건

(2) 유일한 해를 갖기 위한 의 조건

(3) 무수히 많은 해를 갖기 위한 의 조건

22. 다음 연립일차방정식이 해를 갖기 위한 의 조건을 구하라.

(교정용)----

[1-2] 다음 행렬 중 REF와 RREF인 것을 찾고, RREF가 아닌 것은 RREF로 변형시켜라.

1. (1) (2) (3) (4)

(5)

2. (1) (2) (3)

(4) (5)

[3-4] 다음 행렬과 행동치인 행렬을 3개만 찾아라.

3. 4.

[5-10] 다음 연립방정식을 Gauss 소거법으로 풀어라.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

[11-12] 다음 연립방정식을 Gauss-Jordan 소거법으로 풀어라.

11. 12.

13. 아래 연립방정식에 대하여 다음을 구하라.

(1) 해를 갖지 않기 위한 의 조건

(2) 유일한 해를 갖기 위한 의 조건

(3) 무수히 많은 해를 갖기 위한 의 조건

14. 다음 연립일차방정식이 해를 갖기 위한 의 조건을 구하라.

1.4 역행렬

이 절에서는 정사각행렬에 대하여 실수에서의 역수와 같은 역할을 하는 행렬을 알아 본다.

정 의 차의 정사각행렬 에 대하여 다음을 만족하는 행렬 가 존재하면 는 가역

(invertible)이라고 한다.

이때, 를 의 역행렬(inverse matrix)이라고 하며, 이러한 가 존재하지 않으면 는 비가역(noninvertible)이라고 한다.

【예제 1】 행렬

에서 가 의 역행렬임을 다음 계산으로부터 알 수 있다.

¶

【예제 2】 행렬

은 3행의 성분이 모두 이므로 임의의 행렬

에 대하여 의 3행은

이다. 따라서 인 가 존재하지 않으므로 는 비가역이다. ¶

정리 1.6 차의 정사각행렬 가 가역이면 의 역행렬은 유일하다.

증 명 행렬 가 모두 의 역행렬이라고 하면

이므로

이다. 따라서, 의 역행렬은 유일하다. □

차의 정사각행렬 가 가역일 때, 의 역행렬을 로 나타낸다. 즉,

【예제 3】행렬 에서 라고 하면

이다. 왜냐하면,

이기 때문이다. ¶

정리 1.7 차의 정사각행렬 가 가역이고 가 이 아닌 스칼라일 때, 다음이 성립한 다.

(1) 은 가역이고, 이다.

(2) 는 가역이고, 이다.

(3) 는 가역이고, 이다.

(4) 는 가역이고, 이다.

증 명 (1) 이 가역인 것은 을 만족하는 행렬 가 존재함을 보이 면 된다.

그런데, 이므로 은 가역이고 가 의 역행렬이다.

∴

(2) ,

이므로 는 가역이고 이다.

(3) 이므로

이다. 따라서, 는 가역이고 이다.

(4) ,

이므로 는 가역이고 이다. □

【예제 4】 두 행렬

에 대하여 임을 확인하라.

풀 이 이고 이므로

¶

이제, 차의 정사각행렬 가 가역일 때 의 역행렬을 다음과 같은 단계로 구해 보자.

단계 1. 주어진 행렬 에 단위행렬 을 첨가하여 행렬 을 만든다.

단계 2. 단계 1에서 만든 행렬 의 RREF를 구한다.

단계 3. 단계 2에서 얻어진 RREF를 라고 하면 다음이 성립한다.

(i) 이면 이다.

(ii) 이면 는 비가역이고 은 존재하지 않는다.

【예제 5】 다음 행렬의 역행렬을 구하라.

풀 이 를 만들면

이고, 이 행렬의 RREF를 구하면

이다. 이므로 이다.

∴ ¶

【예제 6】 다음 행렬의 역행렬을 구하라.

풀 이 예제 5와 같은 과정을 거치면

이고, 이므로 는 존재하지 않는다. ¶

이와 같이 Gauss-Jordan소거법을 이용하여 역행렬의 존재성을 확인하거나 역행렬을 구하는 방법은 단순한 계산을 반복하는 것이다. 따라서 컴퓨터를 이용하면 쉽게 구할 수 있다.

연습문제 1.4

[1-10] 다음 행렬 중 가역인 것을 찾고, 그 역행렬을 구하라.

1. 2. 3.

4. 5.

6. 7. 8.

9. 10.

[11-13] 행렬 가 각각 다음과 같을 때, 임을 보여라.

11. 12. 13.

14. 다음 행렬 의 역행렬이 존재하기 위한 의 값을 모두 구하고, 그 때의 를 구하라.

15. 차의 정사각행렬 가 가역이고, 가 임의의 자연수일 때, 는 가역임을 보여라.

16. 차의 정사각행렬 가 가역이고 다음식을 만족하면 임을 보여라.

(( 책의 문제 1-5의 문제 번호 참조하여 해답 순서 고칠것)

1.5 연립일차방정식의 해와 행렬

이 절에서는 행렬의 가역성과 연립방정식의 해 사이의 관계를 알아보고 동차연립방정 식에 대하여 살펴본다.

정리 1.8 차의 정사각행렬 가 가역이고 가 행렬일 때, 연립방정식 는 유일한 해 를 갖는다.

증 명 가 가역이므로 이 존재한다.

의 양변에 을 곱하면

이므로 는 연립방정식 의 해이다.

또, 가 의 임의의 해라 하면

이고, 이 식의 양변에 을 곱하면

이므로 는 유일한 해이다. □

【예제 1】 연립방정식

은

이라 놓으면 로 나타낼 수 있다. 그런데 행렬 는 1.5절의 예제 5에서 보듯 이 가역이고,

이다. 따라서 정리 1.8에 의하여 위 연립방정식의 해는

즉, 이다. ¶

미지수 에 관한 개의 일차방정식으로 이루어진 연립방정식

에서 실수 이 모두 0이면 이 연립방정식을 동차(homogeneous)라 하고 그 렇지 않으면 비동차(nonhomogeneous)라고 한다.

따라서, 일반적인 동차연립일차방정식은

(1)

이고

이라 하면 다음과 같이 나타낼 수 있다.

동차연립일차방정식 (1)에 을 대입하면 모든 방정식이 성립 하므로 이것은 연립방정식 (1)의 해이다. 이 해를 자명한 해(trivial solution)라 하며, 인 해를 자명하지 않은 해(nontrivial solution)라고 한다.

연립일차방정식의 해는 존재하지 않거나, 유일하게 존재하거나 또는 무수히 많이 존재 한다. 그런데 동차연립일차방정식은 항상 자명한 해를 가지므로 다음 중 하나가 성립한 다.

(i) 자명한 해만 갖는다.

(ii) 무수히 많은 해를 갖는다. 즉, 자명하지 않은 해도 갖는다.

다음 정리는 동차연립방정식이 어떤 경우에 자명하지 않은 해를 갖는지 알려준다.

정리 1.9 개의 미지수를 갖는 개의 방정식으로 이루어진 동차연립일차방정식은 이 면 즉, 미지수의 개수가 방정식의 개수보다 많으면 자명하지 않은 해를 갖는다.

증 명 동차연립일차방정식을 이라 하고, 행렬 를 계수행렬 의 RREF라 하자. 그러면 연립방정식 과 은 동치이고, 의 영아닌 행의 개수를 라 하면 이다.

만일 이라면 이고 개의 미지수를 임의의 실수로 놓아 의 해를 구할 수 있다. 그런데, 이 해는 임의의 실수를 포함하므로 자명하지 않은 해가 존재하고, 과 이 동치이므로 동차연립일차방정식 은 자명하 지 않은 해를 갖는다. □

【예제 2】 동차연립방정식

(2)

의 첨가행렬은

이고, 이것을 RREF로 변형하면 다음과 같다.

이것에 대응하는 연립방정식은

이므로 ( 임의의 실수)이라 놓으면 (2)의 해는

이다. 여기서 이면 자명한 해가 되고, 이면 자명하지 않은 해가 된다. ¶

연습문제 1.5

[1-8] 다음 동차연립방정식 중에서 자명하지 않은 해를 갖는 것을 찾아라.

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

[9-10] 행렬

에 대하여 다음 동차연립방정식을 풀어라.

9. 10.

11. 다음 동차연립방정식이 자명하지 않은 해를 갖기 위한 조건은 임을 보 여라.

12. 가 행렬이고 가 아닌 행렬일 때, 연립방정식 가 해를 갖는다고 하자. 이 때, 이 의 한 해이고 이 의 해이면 은 의 해가 됨을 증명하라.

......................... (교정용) .............

[1-2] 다음 동차연립방정식 중에서 자명하지 않은 해를 갖는 것을 찾아라.

1. (1) (2)

(3) (4)

2. (1) (2)

(3) (4)

[3-4] 행렬

에 대하여 다음 동차연립방정식을 풀어라.

3. 4.

5. 다음 동차연립방정식이 자명하지 않은 해를 갖기 위한 조건은 임을 보 여라.

6. 가 행렬이고 가 아닌 행렬일 때, 연립방정식 가 해를 갖는다고 하자. 이 때, 이 의 한 해이고 이 의 해이면 은 의 해가 됨을 증명하라.

* 1.6 행렬을 이용한 암호이론

이 절에서는 행렬을 이용하는 흥미있는 문제를 하나 소개한다. 암호문을 만들고 해독 하는 기술은 선형대수를 많이 이용하고 있다. 여기서는 행렬 가 행렬 의 역행렬일 때, 행렬 를 이용하여 암호문을 만들고 를 이용하여 그것을 해독하는 방법에 대하 여 설명한다.

(1) 영문을 암호화하는 경우

두 행렬 를

이라 하고, 알파벳과 기호를 다음 표와 같이 숫자화하자.

A	B	C	D	E	F	G	H	I	J	K	L	M	N
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
O	P	Q	R	S	T	U	V	W	X	Y	Z	*	
15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	

표 1.1

표 1.1의 * 는 단어사이를 띄는 기호로 사용한다.

다음 문장을 암호화하여 보자.

FOR YOUR EYES ONLY

이것을 숫자화 하면

F O R * Y O U R * E Y E S * O N L Y

6 15 18 27 25 15 21 18 27 5 25 5 19 27 15 14 12 25

이다. 그런데, 가 행렬이므로 이것을 다음과 같은 두 행을 가지는 행렬 으로 만든다. 이때, 숫자의 개수가 홀수이면 마지막에 *에 해당되는 숫자 27을 첨가한다.

그리고 이것을 암호화하기 위하여 의 왼쪽에 를 곱하여 을 만든다.

이 으로부터 숫자화된 암호문

을 만든다.

이제, 이 암호문을 행렬 을 이용하여 해독해 보자.

이므로 다음이 성립한다.

따라서 암호문을 두 행을 가지는 행렬로 만들고, 이것의 왼쪽에 를 곱하면 해 독할 수 있다.

이므로 다음 문장을 얻는다.

6 15 18 27 25 15 21 18 27 5 25 5 19 27 15 14 12 25

F O R * Y O U R * E Y E S * O N L Y

(2) 한글을 암호화하는 경우

두 행렬 를

이라 하고, 한글자모와 기호를 다음 표와 같이 숫자화하자.

ᄀ	ᄂ	ᄃ	ᄅ	ᄆ	ᄇ	ᄉ	ᄋ	ᄌ	ᄎ
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
ᄏ	ᄐ	ᄑ	ᄒ	ᅡ	ᅣ	ᅥ	ᅧ	ᅩ	ᅭ
11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
ᅮ	ᅲ	ᅳ	ᅵ	ᅢ	ᅤ	ᅦ	ᅨ	*	?
21	22	23	24	25	26	27	28	29	30

표 1.2

다음 문장을 암호화하여 보자.

내일 그곳에서 만나자

이것을 숫자화하면

ᄂ ᅢ ᄋ ᅵ ᄅ * ᄀ ᅳ ᄀ ᅩ ᄉ ᄋ ᅦ ᄉ ᅥ * ᄆ ᅡ ᄂ ᄂ ᅡ ᄌ ᅡ

2 25 8 24 4 29 1 23 1 19 7 8 27 7 17 29 5 15 2 2 15 9 15

이다. 그런데 가 행렬이므로 이것을 다음과 같은 3개의 행을 갖는 행렬으로 만든다. 숫자의 개수가 3의 배수가 아니면 마지막에 *에 해당하는 29을 계속 첨가한다.

앞에서와 같은 방법으로 다음과 같이 숫자화 된 암호문을 만들 수 있다.

이므로 숫자화된 암호문은 다음과 같다.

17,124,35,84,69,132,50,156,0,54,21,54,20,46,4,46,22,139,37,86,84,121,65,185 (1)

이것을 해독하는 것은 연습문제로 남긴다.

이므로 를 이용하여 만든 암호문은 를 이용하여 해독할 수 있다. 또 한, 두 행렬 를 모르면 이 암호문을 해독할 수 없으므로 숫자화하는 표는 알려지 더라도 누설될 염려가 없다. 따라서, 두 행렬 만 알려지지 않도록 주의하 면 비밀이 보장된다. 또, 이 행렬 를 정기적으로 바꾸어 주면 통신내용의 보안이 효과 적으로 유지된다.

연습문제 1.6

1. 암호문 (1)을 해독하라.

2. 다음 행렬과 표 1.1을 이용하여 "LINEAR ALGEBRA"를 암호화하라.

3. 문제 2의 행렬과 표 1.1을 이용하여 다음 암호문을 해독하라.

50, 31, 13, 47, 31, 23, 8, 29

4. 다음 행렬과 표 1.2를 이용하여 "재미있는 수학"을 암호화하라.

5. 문제 4의 행렬과 표 1.2를 이용하여 다음 암호문을 해독하라.

32, 31, 36, 14, 45, 32, 38, 201, 187, 142, 126,

174, 198, 167, 142, 127, 97, 87, 124, 142, 121

제 2 장

행 렬 식 (Determinant)

행렬식에 대한 개념은 행렬이 소개되기 전에 이미 알려졌으며 오랫동안 연립일차방정식의 해

를 구하는 기본적인 수단으로 이용되어져 왔다.

또한, 행렬식을 이용하면 행렬이 가역인지

아닌지를 쉽게 알 수 있다.

이 장에서는 정사각행렬을 실수에 대응시키 는 함수로 행렬식을 정의하고, 그 계산법 및 응 용에 관하여 알아본다.

2.1 행렬식의 정의와 그 성질

2.2 여인자 전개와 행렬식의 응용

2.1 행렬식의 정의와 그 성질

이 절에서는 행렬 에 대하여 어떤 실수 를 대응시키는 함수 중에서 특히 중요한 행렬식 함수에 관하여 살펴보기로 한다.

먼저, 행렬식 함수를 정의하기 위하여 치환(순열)에 관하여 알아본다.

정 의 자연수의 집합 의 치환(permutation, 순열)이란 에서 로의

일대일 대응 함수 이다.

이 장에서는 이 함수 을 간단히 으로 쓰기로

한다. [ 주의: 이것은 치환군에서 흔히 쓰는 순회치환 부호와는 다른의미이다. ]

따라서 , ... , , ... , 이다. 개

의 물건을 재배치하는 방법은 가지이므로 자연수의 집합

의 치환은 모두 개 이다. 상의 치환 전체의 집합을 으로 나타낸다.

【예제 1】 집합 의 치환은 하나이므로 이고, 집합 의 치환은

(12), (21)이므로 이다. 집합 의 치환은

개 있고, 열거하면 (123), (231), (312), (132), (213), (321)이므로

이다. ¶

의 치환 에서 큰 자연수가 작은 자연수보다 먼저 나타나면 이 치환은 반전(inversion)을 가졌다고 한다. 또, 치환이 가진 반전의 총 개수가 짝수이면 이 치환은 짝치환(even permutation), 홀수이면 홀치환(odd permutation) 이라고 한다.

【예제 2】 에서 치환 (12)는 반전을 가지지 않으므로 짝치환이고, 치환 (21)은 반전의 개수가

1이므로 홀치환이다. ¶

【예제 3】 의 치환들을 짝치환과 홀치환로 분류하라.

풀 이

치 환	반전의 개수	분 류
(123)	0	짝치환
(231)	2 ( 21, 31 )	짝치환
(312)	2 ( 31, 32 )	짝치환
(132)	1 ( 32 )	홀치환
(213)	1 ( 21 )	홀치환
(321)	3 ( 32, 31, 21)	홀치환
¶

정 의 함수 을 다음과 같이 정의한다.

이제, 치환을 이용하여 행렬식을 정의하자.

정리 2.1 치환 의 임의의 두수를 바꾼 치환을 라하면 다음이 성립한다.

증 명 이라 하자. 에서앞

에 있는 수, 뒤에 있는 수와 , 사이의 반전 관계는 , 를 바꾸

었을 때에도 변함이 없다. 에서 와 사이에 있는 수와 의 반전 관계는

모두 바뀐다. 즉 반전이 있던 것은 없어지고, 없던 것은 생긴다. 따라서, 와 사

이에 개의 수가 있다면 반전의 총개수는 번의 변화가 생긴다. 마찬가지로

와 사이에 있는 수와 의 반전 관계도 모두 바뀌고 반전의 총개수는 번의

변화가 생긴다 그런데, 와가 바뀌면 와사이에 변화가 한 번 있으므로

에서의 반전의 총개수는 에서의 총개수에서 (2+1)번의 변화가 있게된다. 즉

의 반전의 총개수는 의 반전의 총개수와 홀수개의 차이가 있다. 따라서.

□

정 의 행렬 가 차의 정사각행렬일 때, 의 행렬식(determinant)을 또 는 로 나타내고 다음과 같이 정의한다.

【예제 4】 행렬

의 를 구하라.

풀 이

이것은 아래 그림과 같이 화살표 방향으로 곱하여 오른쪽 방향의 화살표의 곱에는 , 왼쪽 방향의 화살표의 곱에는 를 붙여 계산하면 편리하다.

¶

【예제 5】 행렬

의 를 구하라.

풀 이

이것도 역시 다음 그림을 이용하면 쉽게 계산할 수 있다. 여기서도 오른쪽 방향의 화살 표의 곱에는 , 왼쪽 방향의 화살표의 곱에는 를 붙인다. 이 방법을 (개선된) Sarrus 방법이라고 한다.

¶

【예제 6】 다음 행렬의 행렬식을 계산하라.

,

풀 이

¶

Sarrus 방법은 4차 이상의 행렬식에 대해서는 적용할 수 없다. 따라서 4차 이상의 행 렬식은 정의에 의하여 구할 수 밖에 없다. 그런데, 정의에 의하여 직접 행렬식을 계산하는 것은 일반적으로 매우 번거로운 일이다. 실제로, 4차의 경우이면 4! = 24개의 항과 그 부 호를 결정해야 하고, 10차의 경우에는 10! = 3,628,800개의 항과 그 부호를 결정하여야 한다. 그러나 행렬식의 성질들을 이용하면 행렬식을 쉽게 계산할 수 있다.

다음에 열거하는 정리들은 행렬식을 계산하는데 매우 유용한 행렬식의 성질들이다.

정리 2.2 정사각행렬 의 행렬식과 의 전치행렬 의 행렬식의 값은 같다.

증 명 라 하자. 그러면 행렬식의 정의에 의하여

을 재배열하여 이 되었다고 하자.

이 때, 두 성분을 번 바꾸었다고 하면 치환 은 두 수를 번 바꾸어

치환 이 되었고, 치환 은 두 수를 번 바꾸어 치환 이 되었 다. 따라서, 정리 2.1에 의하여

이 두 식으로 부터

그러므로

【예제 7】 앞의 예제 6의 행렬 의 행렬식은 이고,

이므로

이다. 따라서, 이다. ¶

정리 2.2에 의하여 행에 관한 행렬식의 성질은 열에 관해서도 모두 성립한다.

정리 2.3 행렬 가 정사각행렬 의 두 행을 서로 바꾸어서 얻어진 행렬이라면

이다.

증 명 가 의 행과 행을 바꾸어서 얻어진 행렬이라 하고 라 하자. 그러면 이고, 일 때에는 이다. 행렬식의 정의에 의하여

정리 2.1에 의하여

【예제 8】 행렬

일 때,

= 7이고 = 7

이므로 이다. ¶

정리 2.4 정사각행렬 의 두 행이 일치하면 이다.

증 명 의 일치하는 두 행을 바꾸어서 얻은 행렬을 라 하면 이다. 그런데 정리 2.3에 의하여 이므로 이다. 따라서 이다. □

【예제 9】 행렬

일 때,

¶

정리 2.5 정사각행렬 의 한 행의 성분이 모두 0이면 이다.

증 명 의 행의 성분이 모두 이라 하자. 행렬식의 정의에 의하여

【예제 10】 행렬

의 를 계산하면 다음과 같다.

¶

정리 2.6 정사각행렬 의 한 행을 배하여 얻어진 행렬을 라 하면 이다.

증 명 를 의 행을 배 하여 얻어진 행렬이라 하자. 그러면 이고, 일 때에는 이다. 행렬식의 정의에 의하여

이 정리에 의하여 의 한 행의 성분이 공통인수를 가지면 다음 예제와 같이 계산 할 수 있다.

【예제 11】 행렬

의 행렬식을 계산하면 다음과 같다.

= 2= (2)(3)= (2)(3)(0) = 0 ¶

정리 2.7 정사각행렬 의 한 행의 배를 다른 행에 더하여 얻어진 행렬을 라 하면 이다.

증 명 가 의 행을 배 하여 행에 더한 행렬이라 하자 (단,

). 그러면이고 일 때에는 이다. 행렬식의 정의에

의하여

그런데

은 행과 행이 일치하는 행렬의 행렬식이므로 정리 2.4에 의하여 이 된다. 따라서

□

【예제 12】 행렬

의 2행을 2배하여 1행에 더한 행렬을 라 하면

이고, 를 각각 계산하면 이다. ¶

주대각선성분 아래의 성분이 모두 0인 정사각행렬을 상삼각행렬(upper triangular matrix), 위쪽의 성분이 모두 0인 정사각행렬을 하삼각행렬(lower triangular matrix)이라고 한다. 상삼각행렬과 하삼각행렬을 통틀어 삼각행렬(triangular matrix) 이라고 한다.

【예제 13】 일반적인 4차의 상삼각행렬과 하삼각행렬은 각각 다음과 같다.

, ¶

다음 정리는 행렬식의 정의로부터 쉽게 얻을 수 있는데, 행렬식을 계산하는데 매우 유용하다.

정리 2.8 가 차의 삼각행렬이면 의 행렬식은 주대각선성분의 곱과 같다. 즉,

【예제 14】 정리 2.8에 의하여

¶

이제, 다음 예제에서 행렬식의 성질들을 이용하여 행렬식을 쉽게 계산하는 방법을 알아보자. 이 방법의 기본적인 착상은 앞에서 열거한 행렬식에 관한 정리들을 이용하여 삼각행렬의 행렬식으로 변형시키는 것이다. 특히, 정리 2.3, 2.6, 2.7을 이용하면 Gauss소 거법과 같은 방법으로 행렬식을 쉽게 삼각행렬의 행렬식으로 변형시킬 수 있다.

【예제 15】 다음 행렬의 행렬식을 구하라.

풀 이

= (1행과 2행을 교환했다.)

( 1행의 공통인수 3을 밖으로 끌어냈다.)

(1행의 (-2)배를 3행에 더했다.)

(2행의 (-10)배를 3행에 더했다.)

(3행의 공통인수 (-55)를 밖으로 끌어냈다.)

¶

다음으로 행렬식에 대하여 성립하는 매우 중요한 정리를 증명없이 소개한다.

(증명은 다음 주소를 참조 : http://www.math.unl.edu/~msapir/M314HNotes/proofdet3.html/ )

정리 2.9 두 행렬 가 차의 정사각행렬일 때, 다음이 성립한다.

【예제 16】 행렬

에 대하여 정리 2.9을 확인하라.

풀 이

이고,

이므로 이다. ¶

정리 2.10 행렬 가 가역이면 다음이 성립한다.

증 명 가 차의 가역행렬이면 가 존재하고

이므로

이다. 그런데, 정리 2.9에 의하여

이므로 이고 다음이 성립한다.

□

【예제 17】 행렬

에 대하여 정리 2.10을 확인하라.

풀 이 는 가역이고 이므로 이다.

¶

연습문제 2.1

[1-4] 의 다음 치환들의 반전(inversion)의 수를 구하라.

1. (52134) 2. (45213) 3. (42135) 4. (13542)

[5-10] 의 다음 치환들이 짝치환인지 홀치환인지를 말하라.

5. (4213) 6. (1243) 7. (1234) 8. (3214) 9. (1423) 10. (2431)

[11-16] 행렬식의 정의를 이용하여 다음 행렬식을 구하라.

11. 12. 13.

14. 15. 16.

[17-20] 일 때, 다음 행렬의 행렬식을 구하라.

17. 18.

19. 20.

[21-28] 다음 행렬식을 구하라.

21. 22.

23. 24.

25. 26.

27. 28.

[29-30] 다음 방정식을 풀어라.

29. 30.

[31-34] 다음 등식이 성립함을 보여라.

31. 32.

33.

34.

[35-38] 가 차의 정사각행렬이고 일 때, 다음을 구하라.

35. 36.

37. 38.

39. 치환 ()에서 두 수를 바꾸면 반전의 총수는 홀수개 만큼 차이가 남을 보여라.

40. 가 정사각행렬이고 이면 또는 임을 보여라.

41. 정사각행렬 가 를 만족하면 의 행렬식은 1 또는 -1임을 보여라.

42. 두 정사각행렬 가 가역인 행렬 에 대하여 를 만족하면 임을 보여라.

--------------- (답안교정용) -----------

1. 의 다음 치환들의 반전(inversion)의 수를 구하라.

(1) (52134) (2) (45213) (3) (42135) (4) (13542)

2. 의 다음 치환들이 짝치환인지 홀치환인지를 말하라.

(1) (4213) (2) (1243) (3) (1234) (4) (3214) (5) (1423) (6) (2431)

[3-4] 행렬식의 정의를 이용하여 다음 행렬식을 구하라.

3. (1) (2) (3)

4. (1) (2) (3)

[5-6] 일 때, 다음 행렬의 행렬식을 구하라.

5. (1) (2)

6. (1) (2)

[7-14] 다음 행렬식을 구하라.

7. 8.

9. 10.

11. 12.

13. 14.

[15-16] 다음 방정식을 풀어라.

15. 16.

[17-20] 다음 등식이 성립함을 보여라.

17. 18.

19.

20.

[21-22] 가 차의 정사각행렬이고 일 때, 다음을 구하라.

21. (1) (2)

22. (1) (2)

23. 치환 ()에서 두 수를 바꾸면 반전의 총수는 홀수개 만큼 차이가 남을 보여라.

24. 가 정사각행렬이고 이면 또는 임을 보여라.

25. 정사각행렬 가 를 만족하면 의 행렬식은 1 또는 -1임을 보여라.

26. 두 정사각행렬 가 가역인 행렬 에 대하여 를 만족하면 임을 보여라.

2.2 여인자 전개와 행렬식의 응용

이 절에서는 행렬식을 직접 계산하는데 편리하고 이론적으로도 중요한 방법을 알아 본다. 그리고 이 방법의 응용으로서 역행렬을 계산하는 공식과 연립일차방정식의 해를 구하는 공식을 소개한다.

정 의 정사각행렬 의 행과 열을 제거하여 만든 부분행렬을 라 하고 그 의 행렬식 를 의 소행렬식(minor)이라 한다. 또, 를 의 여인자(cofactor)라고 한다.

정 의 차의 정사각행렬 의 성분 의 여인자를 라 할 때, 행렬 를 의 수반행렬(adjoint matrix)이라 하고, adj로 나타낸다. 즉,

【예제 1】 행렬

이라 할 때, 의 소행렬식은

이고, 의 여인자는

이다. 같은 방법으로, 의 소행렬식은

이고, 의 여인자는 다음과 같다.

¶

【예제 2】 다음 행렬의 를 구하라.

풀 이 행렬 의 각 성분의 여인자는 각각 다음과 같다.

¶

3차의 정사각행렬

의 행렬식은

임을 알고 있다. 이것은 다음과 같이 쓸 수도 있다.

그런데, 이 식의 우변의 괄호 속이 각각 여인자 과 같으므로 다음이 성 립한다.

(1)

식 (1)에 의하여 의 1열의 성분과 그 성분의 여인자를 곱하여 더한 것은 과 같음을 알 수 있다. 을 계산한 이와 같은 방법을 행렬 의 1열에 관한 여 인자전개(cofactor expansion)라 한다. 이것은 임의의 열에 대하여도 성립하며, 임의의 행에 대하여도 유사한 전개식이 성립한다.

【예제 3】 예제 2의 행렬 의 행렬식을 1열에 관한 여인자 전개를 이용하여 구하라.

풀 이 위의 식 (1)로부터

이제 예제 2의 행렬 에 대하여 를 구하여 보자.

이것은 임의의 3차의 정사각행렬 에 대하여도 성립한다. 즉,

이것으로부터

임을 알 수 있다.

【예제 4】 행렬

일 때, 임을 보여라.

풀 이 이므로

¶

일반적으로 차의 정사각행렬 에 대하여도 다음이 성립한다.

따라서 차의 정사각행렬 의 행렬식은 여인자 전개를 이용하여

(Laplace 여인자 전개라고 불리우는) 다음 정리를 이용하여 구할 수 있다.

정리 2.11 가 차의 정사각행렬일 때 (1≤≤, 1≤≤)에 대하여 다음이 성립한다.

(행에 관한 여인자전개)

(열에 관한 여인자전개)

【예제 5】 를 예제 2에서 주어진 행렬이라 할 때, 의 3행에 관한 여인자전개를 이용하여 를 계산하여라.

풀 이 이므로

이 값은 예제 2의 결과와 일치한다. ¶

예제 5에서 알 수 있듯이 전개할 행(또는 열)의 성분이 0이면 그 여인자는 계산할 필요 가 없다. 따라서, 될 수 있는 한 을 많이 포함하고 있는 행(또는 열)에 대한 여인자 전개 를 이용하면 행렬식을 쉽게 구할 수 있다. 또한, 여인자전개만 이용하는 것보다 행렬식의 기본 성질을 함께 이용하면 편리하다.

【예제 6】 다음 행렬의 행렬식을 여인자 전개를 이용하여 구하라.

풀 이 2행의 (-2)배를 3행에 더하고, 2행의 (-3)배를 1행과 4행에 각각 더하면

이것을 1열에 관하여 여인자전개하면

¶

정리 2.12 차의 정사각행렬 가 가역일 때, 의 역행렬은 다음과 같다.

증 명

이고, 의 (,) 성분은 다음과 같다.

(2)

그런데, 이면 식 (2)는 의 번째 행에 관한 의 여인자전개이고, 이면 의 행 성분과 행의 성분의 여인자의 곱을 더한 것이 되므로 0이 된다. 따라서,

(3)

이고, 행렬 가 가역이므로 이다. 식 (3)를 로 나누면 다음을 얻는다.

□

【예제 7】 예제 2의 행렬 의 역행렬을 구하라.

풀 이

이므로

¶

연립일차방정식의 해에 대한 공식을 만들면 실제의 계산은 복잡하더라도 해의 성질 을 조사할 때는 매우 유용하다. 다음에 개의 미지수를 가지는 개의 일차방정식으로 이루어진 연립방정식의 해를 구하는 공식을 소개한다. 이 공식을 Cramer 공식 (Cramer's rule)이라 부른다.

정리 2.13 연립방정식

의 계수행렬을 라 하고

이라 하면, 이 연립방정식은 로 나타낼 수 있다. 이때,이면 이 연 립방정식은 유일한 해

을 갖는다. 여기서 는 의 열을 로 바꾼 행렬이다.

증 명 이므로 는 가역이다. 따라서 연립방정식 는 유일한 해 를 갖는다. 그런데,

이므로 다음이 성립한다.

따라서, 의 행의 성분은

이다. 그런데 이므로 의 열을 로 바꾼 행렬 을 라 하면 다음을 얻는다.

□

【예제 8】 Cramer 공식을 이용하여 다음 연립방정식을 풀어라.

풀 이 계수행렬을 라 하면

이므로

【예제 9】 Cramer 공식을 이용하여 다음 동차연립방정식을 풀어라.

풀 이 예제 8에서 이고, 행렬 는 모두 0인 열을 포함하고 있으므로

따라서, 구하는 해는

¶

위 예제에서 보듯이 가 차의 정사각행렬일 때, 이면 동차연립방정식 은 자명한 해만을 갖는다.

일반적으로 이 자명한 해만을 가질 필요충분조건은 이다.

개의 미지수를 가지는 개의 일차방정식으로 이루어진 연립방정식을 Cramer 공식 으로 풀때는 차의 행렬식을 ()개나 계산하여야 하므로 이 3보다 큰 경우에는 실 용적이라 할 수 없다. 이와 같은 경우에는 Gauss 소거법을 사용하는 것이 편리함은 말할 것도 없다. 그러나 Cramer 공식의 장점은 행렬식만을 이용하여 연립방정식의 해를 직접 구할 수 있고, 특정한 미지수의 값을 바로 찾을 수 있다는 것이다.

이 외에도 행렬식의 응용으로 다음과 같은 것을 들 수 있다.

【예제 10】 서로 다른 두 점 를 지나는 직선의 방정식은 다음과 같음을 보여라.

풀 이 위 식에 또 를 대입하면 등식이 성립하므로 위 식 은 두 점을 지나는 직선의 방정식이다. ¶

예제 10에서와 마찬가지로 서로 다른 세 점 를 지나는 평면의 방정식은 다음과 같다.

이제, 개의 미지수를 가지는 개의 일차방정식으로 이루어진 연립일차방정식과 그것의 계수행렬 또 행렬식 사이의 관계에 대한 다음 정리를 증명없이 소개하면서 이 절을 마친 다.

정리 2.14 가 차의 정사각행렬일 때, 다음은 동치이다.

(1) 는 가역이다.

(2) 모든 행렬 에 대하여 연립일차방정식 가 유일한 해를 갖는다

(3) 동차연립일차방정식 이 자명한 해만 갖는다.

(4) 와 은 행동치이다.

(5)

연습문제 2.2

1. 행렬 의 여인자를 모두 구하라.

2. 행렬 에 대하여 다음을 모두 구하라.

(1) 2행에 있는 성분의 여인자 (2) 3열에 있는 성분의 여인자

[3-4] 문제 1에서 주어진 행렬 에 대하여 다음 행 또는 열에 관한 여인자전개를 이용하여 의 값을 구하라.

3. (1) 1행 (2) 2열

4. (1) 3행 (2) 3열

[5-12] 다음 행렬의 행렬식을 여인자 전개를 이용하여 구하라.

5. 6. 7.

8. 9. 10

11. 12.

[13-14] 정리 2.12을 이용하여 다음 행렬의 역행렬을 구하라.

13. 14.

[15-20] 다음 연립일차방정식을 Cramer 공식을 사용하여 풀어라.

15. 16.

17. 18.

19. 20.

[21-22] 다음 연립방정식을 만족하는 를 구하라.

21. 22.

23. 두 점 (-1,11), (2,-10)을 지나는 직선의 방정식을 행렬식을 이용하여 구하라.

24. 서로 다른 세 점 을 지나는 2차방정식은 다음과 같음을 보여라.

25. 세 점 (1,3), (2,3), (3,5)를 지나는 2차방정식 의 계수 를 행렬식을 이용 하여 구하라.

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선형대수

이

1995-07-12T14:54:00